Exercícios sobre equação do 2º grau (com gabarito resolvido)

A equação geral do segundo grau é dada por:

No caso, temos os coeficientes a = 1, b = -7 e c = 10.

As raízes de uma equação do segundo grau podem ser determinadas pela relação entre soma e produto:

Soma das raízes:

Produto das raízes:

Substituímos os valores:

Agora, procuramos dois números que satisfazem:

A soma é igual a 7.

O produto é igual a 10.

Os números 2 e 5 atendem a essas condições:

2+5=7,

2⋅5=10.

Portanto, as raízes da equação são 2 e 5.

Alternativa correta:
d) 2 e 5

Identifique os coeficientes da equação:

a=2, b=−5, c=−3

Calcule o discriminante (Δ):

Aplique a fórmula resolutiva (Bhaskara):

Substituímos os valores na fórmula:

Simplificando:

Temos duas soluções:

Primeira Solução:

Segunda Solução:

Conclusão

As soluções para a equação são x1 = 3 e x2 = .

Definição das variáveis:
Seja x a largura da base da caixa (em cm). O comprimento será x+3.

A área da base é dada por:

A = largura x comprimento

Substituindo, temos:

40 = x(x+3)

Expandindo a equação:

A fórmula resolutiva é dada por:

Onde

• a = 1
• b = 3
• c = -40

Passo 1: Calcular o discriminante .

Substituindo os valores:

Passo 2: Calcular as raízes usando o discriminante.

Raiz 1:

Raiz 2:

Substituindo os valores:

Solução

As duas soluções para a equação x = 5 e x = -8.

Como se trata de uma medida de comprimento, este deve ser positivo. Logo, x = 5 cm é a resposta.

A equação dada é:

Ela está na forma geral:

Onde:

a = 1;
b = -5;
c = 6

Pelo método da soma e produto:

A soma das raízes (S) é dada por:

O produto das raízes (P) é dado por:

Substituindo os valores de a, b e c.

Agora, buscamos dois números que:

Somem 5:

x1 + x2 = 5

E cujo produto seja 6:

x1 . x2 = 6

Os números que satisfazem essas condições são x1=2 e x2=3, pois:

2+3 = 5 e 2⋅3 = 6

Assim, a opção correta é a) x1=2, x2=3.

Vamos resolver esse problema usando o que sabemos sobre as raízes e o coeficiente principal da função quadrática.

Uma função quadrática tem a forma geral f(x) = ax² + bx + c.

Quando conhecemos as raízes r e s de uma função quadrática, podemos escrevê-la na forma: f(x) = a(x - r)(x - s)

Neste caso, temos:

Raízes: x = -1 e x = 4

Coeficiente a = 2

Escrevendo a função na forma fatorada:

f(x) = 2(x - (-1))(x - 4)

f(x) = 2(x + 1)(x - 4)

Desenvolvendo a expressão:

f(x) = 2[(x + 1)(x - 4)]

f(x) = 2[x² - 4x + x - 4]

f(x) = 2[x² - 3x - 4]

f(x) = 2x² - 6x - 8

Portanto, a expressão completa da função é f(x) = 2x² - 6x - 8, correspondendo à alternativa a.

Para verificar, vamos testar as raízes na função:

Para x = -1: f(-1) = 2(-1)² - 6(-1) - 8 = 2 + 6 - 8 = 0 ✓

Para x = 4: f(4) = 2(4)² - 6(4) - 8 = 32 - 24 - 8 = 0 ✓