Números naturais
Os números naturais são os números inteiros não negativos usados para contar e ordenar. Em geral, o conjunto dos números naturais é expresso como 
Os números naturais não incluem números negativos, frações ou decimais. Eles formam o conjunto que tem como símbolo o 
.
São os primeiros números que aprendemos ao começar a contar. Eles são usados para descrever quantidades e posições, são fundamentais para a aritmética básica e para diversas áreas da matemática.
Todo número natural é um número inteiro, pois os números naturais não possuem partes decimais ou fracionárias. Porém, nem todo número inteiro é natural, já que os inteiros incluem números negativos 
, que não são naturais.
O 0 é considerado número natural na maioria das definições matemáticas modernas. Ele representa a ausência de quantidade. Entretanto, algumas definições mais tradicionais começam os números naturais no 1. Por isso, é importante verificar a convenção usada no contexto.
Dependendo da definição, o conjunto dos números naturais podem começar no 0 ou no 1:
- Com o 0:
. - Sem o 0:
.
Operações com números naturais
Cada operação tem características específicas quando realizada dentro do conjunto dos números naturais. Veja como essas operações funcionam:
Adição com números naturais
A adição de dois números naturais sempre resulta em outro número natural. Essa operação é fechada no conjunto dos números naturais, ou seja, 
para quaisquer números 
e 
em . Exemplo:
, 
A adição é comutativa 
e associativa 
Subtração com números naturais
A subtração apresenta uma particularidade: o resultado nem sempre pertence ao conjunto dos números naturais. Para que 
seja um número natural, 
deve ser maior ou igual a , ou seja, 
. Caso contrário, o resultado seria um número inteiro negativo, que não é um número natural.
Exemplo:
, e 
.
, mas 
.
A subtração não é comutativa 
e também não é associativa 
Multiplicação de números naturais
A multiplicação de dois números naturais sempre resulta em outro número natural, tornando essa operação fechada no conjunto . Exemplo:
, e 
.
A multiplicação é comutativa 
e associativa 
Também possui a propriedade distributiva em relação à adição: 
Divisão de números naturais
A divisão é a operação mais restrita no conjunto dos números naturais. Para que 
pertença a , o número (dividendo) deve ser divisível por (divisor), ou seja, deve ser um divisor exato de . Caso contrário, o resultado não será um número natural.
Exemplo:
e 
e 
A divisão não é comutativa 
, nem associativa 
Resumo das propriedades dos números naturais
| Operação | Sempre Resulta em ? |
Comutativa? | Associativa? | Observações |
|---|---|---|---|---|
Adição 
|
Sim | Sim | Sim | Fechada e sem restrições |
Subtração 
|
Não | Não | Não |
para 
|
Multiplicação 
|
Sim | Sim | Sim | Fechada e possui a propriedade distributiva |
Divisão 
|
Não | Não | Não | Necessário ser exato |
Exercícios com números naturais
Exercício 1
Considere os conjuntos:
- Encontre a interseção de A e B.
- Determine a união de A e B.
- Qual número pertence ao conjunto A, mas não ao conjunto B?
a)
b)
c)
Exercício 2
Uma escola tem 120 alunos e quer formar grupos iguais. Quais são os possíveis tamanhos dos grupos?
a) 2,10,12,15,20,24,30,40,60,120.
b) 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120.
c) 1,2,4,8,10,12,20,30,40,60,120.
Exercício 3
Considere os seguintes conjuntos de números naturais:
Liste os elementos de G e H.
a) 
b) 
c) 
Exercício 4
Uma escola está organizando um evento esportivo e dividiu os alunos em dois grupos para participar de diferentes atividades:
- O grupo A (números de inscrição dos alunos que jogarão futebol) é composto por números naturais pares entre 1 e 20.
- O grupo B (números de inscrição dos alunos que jogarão vôlei) é formado por números naturais múltiplos de 3 entre 1 e 20.
- Liste os números de inscrição dos alunos dos grupos A e B.
- Determine os números de inscrição dos alunos que participarão apenas de futebol.
- Determine os números de inscrição dos alunos que participarão apenas de vôlei.
a)
- A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} e B = {3,6,9,12,15,18}
- A − B = {2,4,8,16,20}
- B − A = {3,15}
b)
- A={2,4,6,14,16,18,20} e B = {3,6,12,15,18}
- A − B = {2,4,8,10,14,16,20}
- B − A = {3,15}
c)
- A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} e B = {3,6,9,12,15,18}
- A − B = {2,4,8,10,14,16,20}
- B − A = {3,9,15}
Veja também:
